Teka-teki matematika ini diposting Randall Jones dari Colombus, Ohio, Amerika Serikat, di akun Facebook-nya beberapa waktu lalu dan sudah 3 juta orang lebih yang mencoba menjawabnya. Konon hanya 1 dari 1.000 orang yang memahami teka-teki ini dan suratkabar Inggris, Telegraph, perlu pula membahasnya.

Bahkan, matematikawan Presh Talwalkar mencoba menjelaskan pemecahan atas soal ini di Youtube. Talwalkar adalah penulis buku-buku mengenai matematika dan logika, seperti Math Puzzles Volume 1, 2, dan 3 serta 40 Paradoxes in Logic, Probability, and Game Theory dan The Best Mental Math Tricks.

Anda ingin mencoba memecahkannya juga? Inilah soal itu.

SOAL

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21
8 + 11 = ?
Nah, apa jawaban dari "8 + 11"?

 

JAWABAN

Berapa jawaban Anda?
Ada sejumlah jawaban untuk soal ini. Dua di antaranya adalah 40 atau 96, seperti yang banyak dibahas netizen yang mengomentari postingan Randall.

Cara 1.

Perhitungan matematika dalam soal itu agak aneh: 2 + 5 sama dengan 12 dan 3 + 6 sama dengan 21. Jelas ini cara berhitung yang tidak lazim. Ada yang hilang di sini.
Tapi, karena mereka diurutkan, berarti ada suatu pola di sana, yang tidak tampak secara langsung oleh kita. Itulah yang perlu kita cari.
Salah satu pendekatan agar operasi matematika itu menjadi pola tertentu adalah membikin suatu rumus yang berlaku untuk semua operasinya.
Salah satu rumus itu adalah:
a + (a x b)
Jika a = 1 dan b = 4, maka: 1 + (1 x 4) = 5
Demikian seterusnya untuk baris-baris lainnya. Maka, kita menemukan urutan sebagai berikut:
1 + (1 x 4) = 5
2 + (2 x 5) = 12
3 + (3 x 6) = 21
8 + (8 x 11) = 96
Jadi, jawaban dari 8 + 11 adalah 96.

Cara 2.

Cara lain adalah mengandaikan ada suatu operasi matematika yang disebut "running total", yakni perhitungan yang menyertakan hasil operasi sebelumnya ke operasi matematika berikutnya. Ringkasnya, hasil dalam perhitungan pertama ditambahkan ke perhitungan kedua. Hasil perhitungan kedua ditambahkan ke perhitungan ketiga dan seterusnya.
Maka, kita dapatkan urutan demikian:

		1	+	4	=	5
5	+	2	+	5	=	12
12	+	3	+	6	=	21
21	+	8	+	11	=	40

Jadi jawaban 8 + 11 adalah 40.
Tapi, tunggu dulu. Meski sekilas cara ini tampak benar, tapi terlihat tak ada pola dalam urutan data itu. Mungkin kita perlu memperbaiki cara menghitungnya dengan melihat polanya dulu.
Pertama, kalau diperhatikan, ada suatu pola pada kolom pertama, sehingga terlihat ada loncatan urutan setelah 1, 2, 3, langsung 8. Begitu juga dengan kolom kedua, ada loncatan setelah 4, 5, 6, lalu 11.

1	+	4	=	5
2	+	5	=	12
3	+	6	=	21
?	+	?	=	?
8	+	11	=	?

Kalau kekosongan itu kita isi, maka akan menjadi demikian:

1	+	4	=	5
2	+	5	=	12
3	+	6	=	21
4	+	7	=	?
5	+	8	=	?
6	+	9	=	?
7	+	10	=	?
8	+	11	=	?

Nah, polanya sudah benar, sekarang baru "running total" kita masukkan, sehingga kita dapat menghitungnya dan jadinya demikian:

		1	+	4	=	5
5	+	2	+	5	=	12
12	+	3	+	6	=	21
21	+	4	+	7	=	32
32	+	5	+	8	=	45
45	+	6	+	9	=	60
60	+	7	+	10	=	77
77	+	8	+	11	=	96

Jadi, dengan cara ini pun, 8 + 11 ternyata sama dengan 96 juga, sama dengan hasil dengan cara pertama di atas.


Nah, apakah hasil perhitunganmu sama atau ada cara lain? Silahkan bagi pengalamanmu di kolom komentar!

Waduh, ini nih, pelajaran yang sangat banyak sekali ditakuti anak-anak dari zaman dahulu. Kenapa sih alasannya?
Sebenarnya belajar matematika itu sangat mengasyikkan lhoo…. dibawa enjoy aja. Jangan tersugesti oleh rasa ketakutan kalian. Karena rasa ketakutan dapat membuat saraf-saraf tegang terutama pada otak. Salah satu fungsi otak yaitu untuk berfikir. Jika saraf-saraf anda tegang maka otakpun tidak bisa berpikir dengan sehat dan jernih.

Pernahkah kalian berpikir, kenapa sih harus belajar matematika? Tentunya semua ada manfaatnya jika kita pelajari. Bukan hanya belajar tetapi juga dalam hal umum lainnya semua ada manfaatnya sekecil apapun itu. Manfaat belajar matematika yaitu:

1. Belajar matematika dapat memecahkan suatu permasalahan.
Belajar matematika itu sebenarnya diharuskan, karena kalau tidak bisa maka akan rugi diri kita sendiri. Kita tidak bisa memecahkan suatu permasalahan. Maka dari itu, belajarlah matematika dengan sungguh-sungguh. Dengan belajar matematika dapat memecahkan suatu permasalahan. Baik pemecahan dalam pengerjaan soal-soal maupun pemecahan permasalahan lainnya. Seperti, mengukur jarak jalan, pemecahan masalah dalam membangun rumah atau lainnya.

2. Belajar matematika dapat membantu untuk berdagang.
Dasar belajar matematika adalah berhitung. Berhitung juga dapat bermanfaat untuk berdagang. Jika anda berdagang, harus pintar berhitung. Jika tidak pintar dalam berhitung akan kesulitan dalam berdagang. Anda juga tidak akan keliru ketika menerima dan membayar kembalian dari pembeli sehingga tidak rugi dalam berdagang.

3. Belajar matematika dapat menjadi dasar pokok ilmu.
Matematika menjadi dasar pokok ilmu maksudnya matematika itu adalah suatu pelajaran pokok tentang ilmu berhitung sehingga ketika belajar ekonomi, akuntansi, kimia, fisika dan lainnya sudah lebih paham dan tidak terlalu mengalami kesulitan. Jika tidak bisa pokoknya saja maka akan kesulitan dalam pelajaran hitungan lainnya.

4. Belajar matematika dapat membuat kita lebih teliti, cermat dan tidak ceroboh.
Masih ingatkah anda, ketika gurumu memberikan soal-soal untuk dikerjakan? Menyelesaikan soal-soal tersebut haruslah dengan hati-hati, harus dengan teliti perhatikan benar apa pertanyaannya, berapa angkanya atau lainnya. Lakukan dengan cermat jangan putus asa dan jangan ceroboh. Agar jawaban yang anda jawab benar. Jadi dalam penyelesaian dalam mengerjakan soal dapat melatih anda menjadi orang yang teliti, cermat dan tidak ceroboh.

5. Belajar matematika dapat melatih cara berpikir.
Belajar matematika sangatlah menuntut anda untuk berpikir. Setiap orang memiliki kemampuan yang berbeda-beda dalam berpikir. Ada kemampuan berpikirnya cepat ada juga yang lambat. Dengan mengerjakan penyelesaian soal dapat melatih cara berpikir anda untuk lebih keras lagi. Ketika jawaban anda salah, harus diperbaiki sampai jawabannya benar. Sehingga tujuan anda untuk menyelesaikan soal tersebut mendapat hasil yang memuaskan.

6. Belajar matematika dapat melatih kesabaran.
Benarkah, belajar matematika dapat melatih kesabaran?. Humm, tentu saja iya. Penyelesaian permasalahan dalam matematika itu rumit dan panjang sehingga dapat melatih anda untuk menjadi orang yang sabar dalam mengerjakannya.


Nah, itulah tadi beberapa manfaat belajar matematika. Belajar matematika itu sangatlah penting, apalagi dalam kehidupan sehari-hari. Jika tidak bisa berhitung maka ketika berbelanja, anda akan mengalami kesulitan. Waduhh, rugi bangetkan. Jadi, belajarlah matematika dengan sungguh-sungguh.

Saat ini belajar tak hanya lewat buku saja, kalian anak muda pelajar dan mahasiswa juga bisa belajar secara langsung dan gratis atau berbayar melalui website pembelajaran yang saat ini sedang marak di beberapa negara termasuk Indonesia.

Jika di Amerika ada Khan Academy yang menjadi pusat pembelajaran online, maka di Indonesia ada 7 website yang bisa dipergunakan untuk belajar online secara gratis ataupun berbayar:

1. Brainly
Brainly.co.id didirikan oleh pengusaha Eropa Michal Borkowski, Tomasz Kraus, dan Lukasz Haluch, yang bertujuan membantu pelajar Indonesia khususnya dan pelajar dunia dalam mengerjakan pekerjaan rumah, atau bertanya tentang pelajaran yang tidak dimengerti yang kemudian pertanyaan tersebut dijawab oleh orang lain yang bisa menjawabnya tidak terbatas hanya pada guru namun juga bisa pelajar lainnya yang memang sudah paham.
Berkat kegigihannya dalam membangun start-up pendidikan, awal bulan ini, Brainly yang berpusat di Berlin memperoleh invetasi sebesar $9 juta seri A dari General Catalyst Partners.
Dimas Mukhlas Widiantoro, sebagai country manager untuk Brainly Indonesia, menyatakan bahwa Brainly akan menjadi kelas raksasa untuk semua siswa yang mau belajar, berbagi, dan mendapatkan pengetahuan. Brainly adalah jaringan sosial bagi siswa, di mana siapa pun, di mana saja di dunia, dapat mendaftarkan diri untuk membantu orang lain dengan pekerjaan rumah.

2. Zenius
Zenius.net, saat ini mungkin menjadi satu dari sedikit website online yang menyediakan pembelajaran secara interaktif paling baik. Terdapat video pembelajaran interaktif seolah belajar dikelas bimbingan belajar.
Wisnu sebagai CEO Zenius, memiliki keinginan besar untuk memperbaiki Indonesia dalam pendidikan. Ia juga menyatakan bahwa salah satu masalah terbesar Indonesia adalah Pendidikan. Oleh karenanya Zenius dibuat untuk membantu siswa dalam pembelajaran yang lebih efektif serta efisien.
Tidak seperti Khan Academy, sayangnya, video pembelajaran zenius masih berbayar, alias tidak gratis, karena mungkin belum ada investor yang mau mengcover zenius sebagai media pembelajaran nasional yang harus dikembangkan demi mencerdaskan anak bangsa. Semoga saja kedepannya ada investor serta gratis selamanya.

3. Ruang Guru
Ruangguru.com merupakan website bagi guru dan murid bertemu dalam sebuah wadah interaktif untuk melakukan kegiatan pembelajaran. Murid baik siswa sekolah menengah, hingga perguruan tinggi bisa belajar lewat website tersebut. Tak hanya itu pengajar bukan hanya kalangan dari guru formal saja namun juga siapapun yang menguasasi pelajaran tertentu bisa menjadi guru.
Bahkan pembelajarannya bisa dilakukan secara online hingga bertemu disuatu tempat yang mendukung pembelajaran atau d irumah murid sesuai dengan kesepakatan. Memang tidak gratis, tapi mungkin ruangguru menjadi salah satu bimbel online paling populer di indonesia saat ini.

4. Ini Budi
Saat sekolah dasar, pasti kalimat “Ini Budi, Ini Ayah Budi, Ini Ibu Budi” sudah tak asing lagi. Sehingga foundernya membuat website inibudi.org sebagai bisnis sosial yang mengedepankan pendidikan. Berbagi ilmu lewat video pembelajaran menarik dan interaktif yang selalu diperbaharui secara berkala. Dan itu semua bisa diperoleh secara gratis.
Ini Budi mengkhususkan pembelajaran lewat videonya mulai dari sekolah dasar SD hingga tingkat SMA. Tak hanya itu, terdapat pula materi umum seperti Profesi yang diisi oleh presenter kondang Najwa Shihab.

5. Sibejoo
Sama halnya dengan inibudi, video pembelajaran dari Sibejoo.com dapat kita manfaatkan secara gratis. Sibejoo yang berarti beruntung ini sudang mengupload video pembalajaran sebanyak 1.000 lebih yang dibuat sendiri dan lebih fokus pada pelajaran IPA seperti matematika, biologi, kimia, fisika.
Setiap orang dapat mengaksesnya lewat website sibejoo dan bisa menyumbangkan dana bagi mereka yang sudah berniat baik untuk memberikan pembelajaran gratis yang interaktif dan tentunya juga bermanfaat.

6. HarukaEdu
Haruka Edu memiliki konsep berbeda dengan yang lainnya. Mirip seperti bimbingan belajar atau lembaga kursus namun dikhususkan kepada lulusan sekolah menengah atas atau kelas perguruan tinggi yang bukan hanya menyediakan kegiatan pembelajaran mulai dari silabus hingga materi teorio serta praktek namun juga sertifikat berakreditasi.
Harukaedu membagi dua kategori fasilitas, yang pertama adalah kelas online gratis bagi siapa saja, kedua ada kuliah online yang bekerja sama dengan universitas berakreditasi B dan A.

7. Quipper Video
Sukses dengan Quipper School, kini Quipper Ltd., perusahaan teknologi yang berbasis di London, Inggris, meluncurkan produk terbarunya yaitu Quipper Video di Indonesia untuk pertama kalinya di dunia. Indonesia dipilih karena dianggap sebagai negara berkembang yang sudah memiliki akses internet cukup stabil dan murah.
Quipper Video diklaim merupakan solusi e-learning berbasis video online, alternatif dari bimbingan belajar, bagi para siswa yang sedang mempersiapkan diri menghadapi UN (Ujian Nasional)dan SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Nasional) sehingga belajar lebih efektif dan menyenangkan. Quipper Video menyediakan video pembelajaran dan modul dari para tutor berpengalaman, soal-soal latihan hingga try out SBMPTN layaknya sebuah bimbingan belajar. Bedanya, semua layanan tersebut disajikan secara online sehingga dapat diakses dimana saja, kapan saja, dan bisa diulang-ulang.

So guys, happy studying… :D

Masih males belajar matematika? Jangan lagi! Kali ini kita akan  mengupas tips belajar matematika yang akan membuat kalian menyukai atau bahkan jatuh cinta pada matematika. Sebenarnya tips ini bisa dipraktekkan pada semua mata pelajaran lain. Bagaimana sih caranya? Yuk kita lihat!

1. Biasakan jangan hanya menghafal.

Menghafal itu penting dalam proses pembelajaran, namun kebiasaan yang hanya menghafal akan membuat kalian seperti burung beo yang bisa bicara tapi tidak mengerti apa yang dikatakannya. Salah satu kelebihan manusia dibandingkan makhluk-Nya yang lain adalah dibekalinya kita akal. Akal kita jauh lebih pinter daripada komputer (kalian pasti sepakat karena komputer yang bikin juga manusia kan?..hehehe), namun dalam hal menghafal kita kalah dengan komputer, karena komputer diciptakan hanya untuk fungsi itu sedangkan pikiran kita tidak hanya kita gunakan untuk menghafal saja, masih banyak yang lain (mikir OSIS, ekstrakurikuler, belajar kelompok...atau pacarnya bagi yang sudah punya pacar hehehehe....)

2. Mengerti dan fahami

Nah, ini penting, pahami dan mengerti semua konsep yang diajarkan oleh guru kalian. Semua rumus atau formula itu tidak terjadi dengan sendirinya, tapi ada rangkaian proses yang menyertainya. Untuk itu pahami latar belakang yang menyebabkan lahirnya konsep atau rumus tersebut. Kebiasaan ini akan membantu kalian dalam menghafalkan rumus-rumus sehingga tidak mudah lupa dan akan teringat sampai suatu saat kalian ditanya oleh anak-anak kalian kelak...hehehehe.

3. Pelajari kembali materi yang disampaikan oleh guru dikelas sesampainya dirumah

Sesampainya pulang sekolah ganti baju, makan dan lakukan aktivitas harian di rumah kalian. Namun jangan lupa sisakan/sempatkan sedikit waktu untuk membaca/mempelajari kembali materi yang disampaikan oleh guru disekolah. 

4. Belajarlah sedikit tapi konsisten

Lebih baiknya banyak dan konsisten kan?. Tuhan lebih menyukai perbuatan baik yang dilakukan secara konsisten/teratur dan terus menerus meskipun sedikit daripada banyak tapi hanya sekali atau tidak konsisten. Mungkin kalian pernah dengar istilah SKS (Sistem Kebut Semalam)? Hindari cara belajar yang begini. Belajarlah secara rutin dan terus menerus, jangan saat ada ulangan atau ujian saja.

5. Berlatih dan berlatih menyelesaikan soal matematika

Jangan malas berlatih mengerjakan soal matematika. Berlatihlah terus menerus dan berulang. Semakin banyak kalian berlatih membuat kalian banyak menemukan model soal dan pemecahannya. Seprti kata guru kita, BISA KARENA BIASA! Hehehehe...

6. Carilah referensi yang lebih banyak

Janganlah hanya menjadikan bahan/materi guru dikelas sebagai satu-satunya referensi yang kalian miliki. Mintalah pada orang tua (mungkin dari simpanan uang jajan kalian...hehehe..berhemat) untuk membelikan buku pelajaran matematika yang relevan. Mungkin bagi kalian yang gemar berinternet ria, kalian bisa dapatkan artikel/tulisan tentang pelajaran matematika didunia maya. cari saja di mesin pencari seperti google materi apa/buku apa yang Anda kehendaki.

Referensi tersebut akan membantu kalian menambah wawasan dan pemahaman materi pelajaran.

7. Jangan malu untuk bertanya kepada yang lebih tahu

Malu bertanya sesat dijalan lo...jadi kalian jangan malu bertanya kepada orang yang lebih tahu tentang matematika, mungkin kakak kalian, bapak, ibu atau teman sekelas yang menurut kalian lebih mampu. Tidak ada salahnya juga kalian bertanya pada guru ketika pada saat belajar ada hal-hal yang menurut kalian tidak jelas.

Nah, selamat mencoba untuk mempraktekkan tips ini, agar kalian tidak lagi takut pada pelajaran matematika tapi sebaliknya mulai belajar menyukai matematika. SEMANGAT!!! :D

1. Bayangan pada titik A (1,2) dan (1,-3) oleh translasi T (3, 4) berturut-turut adalah...

Bayangan titik A(1,2):
A' = [(1 + 3) , (2 +4)] = (4 ; 6).

Bayangan titik B(1,-3):
B' = [(1 + 3) , (-3 + 4)] = (4 ; 1) 

Jawaban: A'(4, 6) dan B'(4, 4)


2. Translasi T(x, y) memetakan titik A(2, 3) ke titik A'(-1, -2). Nilai x dan y berturut-turut adalah...

A(2 , 3) maka A'(2 + x, 3 + y) = A'(-1 , -2)
2 + x = - 1 maka x = -1 - 1 = -3
3 + y = - 2 maka y = - 2 - 3 = - 5

Jawaban: -3 dan -5


3. Diketahui segitiga ABC dengan A(-4 , 0), B(1 , 1), C(-3 , 2). P adalah titik berat segitiga ABC.
Jika translasi T(x, y) memetakan segitiga ABC menjadi segitiga A'B'C' dan P'(2 , 3),
maka translasi dan koordinat A', B' dan C' adalah...

P = [(xA + xB + xC) / 3 , (yA + yB + yC) / 3]
P = [(-4 + 1 + (- 3) / 3 , (0 + 1 + 2) / 3]
P = [-6/3 , 3/3] = (-2 , 1)

Menentukan nilai x dan y
P(-2 , 1) = (-2 + x , 1 + y) = P'(2 , 3)
-2 + x = 2 maka x = 4
1 + y = 3 maka y = 2
Jadi translasi:

Menentukan bayangan A(-4 , 0) = A'(-4 + 4, 0 + 2) = A'(0 , 2)
Menentukan bayangan B(1 , 1) = B'(1 + 4 , 1 + 2) = B'(5 , 3)
Menentukan bayangan C(-3 , 2) = C'(-3 + 4 , 2 + 2) = C'(1 , 4)

Jawaban: A'(0 , 2), B'(5 , 3), C'(1 , 4)


4. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x

a) Terhadap garis y = x
           y = x
(a, b) ----------> ( b, a)

           y = x
(3, 5) ----------> (5, 3)

b) Terhadap garis y = − x
           y = − x
(a, b) ----------> ( − b, − a)

            y = − x
(3, 5) ----------> (− 5, − 3)


5. Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α



Sehingga:


Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jam

6. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....

Transformasi oleh matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:


Terlihat bahwa
y' = − y
y = − y'

x' = x + 2y
x' = x + 2(− y')
x' = x − 2y'
x = x' + 2y'

Jadi:
x = x' + 2y'
y = − y'

Masukkan ke persamaan awal
y = x + 1
(− y') = (x' + 2y' ) + 1
x' + 3y' + 1 = 0

Jawaban: x + 3y + 1 = 0

7. Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks
dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....
Titik A, dengan transformasi matriks

akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:



Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.



Jawaban: (11, −6)

8. Lingkaran (x − 2)² + (y + 3)² = 25 ditransformasikan oleh matriks dilanjutkan oleh matriks , maka bayangan lingkaran itu adalah....
(x − 2)² + (y + 3)² = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, − 3) oleh transformasi



akan menjadi P':



Titik P' ini oleh transformasi kedua



akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:



Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi:

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi(Pencerminan)
3. Rotasi(Perputaran)
4. Dilatasi(Penskalaan)

1. TRANSLASI / PERGESERAN

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:
(-10, 0) menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan A₂ (-7, 9), B₂ (-7, 3), C₂ (-4, 3)
(0, -13) menjadi segitiga A3B3C3 dengan A₃ (3, -4), B₃ (3, -10), C3 (6, -10)
(-10, -13) menjadi segitiga A4B4C4 dengan A₄ (-7, -4), B₄ (-7, -10), C4 (-4, -10)

 Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

dimana :

• a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan +, kekiri -)
• b menyatakan pergeseran vertikal (keatas +, kebawah -)

2. REFLEKSI/ PENCERMINAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
• terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
• terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
• terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

• terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
• terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c
Jika m = tan θ maka:

3. ROTASI/ PERPUTARAN

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

• +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
• +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
• +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):






4. DILATASI / PENSKALAAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

• dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
• dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):