Teka-teki matematika ini diposting Randall Jones dari Colombus, Ohio,
Amerika Serikat, di akun Facebook-nya beberapa waktu lalu dan sudah 3
juta orang lebih yang mencoba menjawabnya. Konon hanya 1 dari 1.000
orang yang memahami teka-teki ini dan suratkabar Inggris, Telegraph,
perlu pula membahasnya. Bahkan, matematikawan Presh Talwalkar mencoba menjelaskan pemecahan
atas soal ini di Youtube. Talwalkar adalah penulis buku-buku mengenai
matematika dan logika, seperti Math Puzzles Volume 1, 2, dan 3 serta 40 Paradoxes in Logic, Probability, and Game Theory dan The Best Mental Math Tricks. Anda ingin mencoba memecahkannya juga? Inilah soal itu.
Berapa jawaban Anda? Ada sejumlah jawaban untuk soal ini. Dua di antaranya adalah 40 atau
96, seperti yang banyak dibahas netizen yang mengomentari postingan
Randall.
Cara 1.
Perhitungan matematika dalam soal itu agak aneh: 2 + 5 sama dengan 12
dan 3 + 6 sama dengan 21. Jelas ini cara berhitung yang tidak lazim.
Ada yang hilang di sini. Tapi, karena mereka diurutkan, berarti ada suatu pola di sana, yang
tidak tampak secara langsung oleh kita. Itulah yang perlu kita cari. Salah satu pendekatan agar operasi matematika itu menjadi pola
tertentu adalah membikin suatu rumus yang berlaku untuk semua
operasinya. Salah satu rumus itu adalah: a + (a x b) Jika a = 1 dan b = 4, maka: 1 + (1 x 4) = 5 Demikian seterusnya untuk baris-baris lainnya. Maka, kita menemukan urutan sebagai berikut: 1 + (1 x 4) = 5 2 + (2 x 5) = 12 3 + (3 x 6) = 21 8 + (8 x 11) = 96 Jadi, jawaban dari 8 + 11 adalah 96.
Cara 2.
Cara lain adalah mengandaikan ada suatu operasi matematika yang
disebut "running total", yakni perhitungan yang menyertakan hasil
operasi sebelumnya ke operasi matematika berikutnya. Ringkasnya, hasil
dalam perhitungan pertama ditambahkan ke perhitungan kedua. Hasil
perhitungan kedua ditambahkan ke perhitungan ketiga dan seterusnya. Maka, kita dapatkan urutan demikian:
1
+
4
=
5
5
+
2
+
5
=
12
12
+
3
+
6
=
21
21
+
8
+
11
=
40
Jadi jawaban 8 + 11 adalah 40. Tapi, tunggu dulu. Meski sekilas cara ini tampak benar, tapi terlihat
tak ada pola dalam urutan data itu. Mungkin kita perlu memperbaiki cara
menghitungnya dengan melihat polanya dulu. Pertama, kalau diperhatikan, ada suatu pola pada kolom pertama,
sehingga terlihat ada loncatan urutan setelah 1, 2, 3, langsung 8.
Begitu juga dengan kolom kedua, ada loncatan setelah 4, 5, 6, lalu 11.
1
+
4
=
5
2
+
5
=
12
3
+
6
=
21
?
+
?
=
?
8
+
11
=
?
Kalau kekosongan itu kita isi, maka akan menjadi demikian:
1
+
4
=
5
2
+
5
=
12
3
+
6
=
21
4
+
7
=
?
5
+
8
=
?
6
+
9
=
?
7
+
10
=
?
8
+
11
=
?
Nah, polanya sudah benar, sekarang baru "running total" kita masukkan, sehingga kita dapat menghitungnya dan jadinya demikian:
1
+
4
=
5
5
+
2
+
5
=
12
12
+
3
+
6
=
21
21
+
4
+
7
=
32
32
+
5
+
8
=
45
45
+
6
+
9
=
60
60
+
7
+
10
=
77
77
+
8
+
11
=
96
Jadi, dengan cara ini pun, 8 + 11 ternyata sama dengan 96 juga, sama dengan hasil dengan cara pertama di atas.
Nah, apakah hasil perhitunganmu sama atau ada cara lain? Silahkan bagi pengalamanmu di kolom komentar!
Waduh, ini nih, pelajaran yang sangat
banyak sekali ditakuti anak-anak dari zaman dahulu. Kenapa sih
alasannya? Sebenarnya belajar matematika itu sangat mengasyikkan lhoo….
dibawa enjoy aja. Jangan tersugesti oleh rasa ketakutan kalian. Karena
rasa ketakutan dapat membuat saraf-saraf tegang terutama pada
otak. Salah satu fungsi otak yaitu untuk berfikir. Jika saraf-saraf anda
tegang maka otakpun tidak bisa berpikir dengan sehat dan jernih. Pernahkah kalian berpikir, kenapa sih harus belajar matematika?
Tentunya semua ada manfaatnya jika kita pelajari. Bukan hanya belajar
tetapi juga dalam hal umum lainnya semua ada manfaatnya sekecil apapun
itu. Manfaat belajar matematika yaitu: 1. Belajar matematika dapat memecahkan suatu permasalahan.
Belajar matematika itu sebenarnya diharuskan, karena kalau tidak bisa
maka akan rugi diri kita sendiri. Kita tidak bisa memecahkan suatu
permasalahan. Maka dari itu, belajarlah matematika dengan
sungguh-sungguh. Dengan belajar matematika dapat memecahkan suatu
permasalahan. Baik pemecahan dalam pengerjaan soal-soal maupun pemecahan
permasalahan lainnya. Seperti, mengukur jarak jalan, pemecahan masalah
dalam membangun rumah atau lainnya. 2. Belajar matematika dapat membantu untuk berdagang.
Dasar belajar matematika adalah berhitung. Berhitung juga dapat
bermanfaat untuk berdagang. Jika anda berdagang, harus pintar berhitung.
Jika tidak pintar dalam berhitung akan kesulitan dalam berdagang. Anda
juga tidak akan keliru ketika menerima dan membayar kembalian dari
pembeli sehingga tidak rugi dalam berdagang. 3. Belajar matematika dapat menjadi dasar pokok ilmu.
Matematika menjadi dasar pokok ilmu maksudnya matematika itu adalah
suatu pelajaran pokok tentang ilmu berhitung sehingga ketika belajar
ekonomi, akuntansi, kimia, fisika dan lainnya sudah lebih paham dan
tidak terlalu mengalami kesulitan. Jika tidak bisa pokoknya saja maka
akan kesulitan dalam pelajaran hitungan lainnya. 4. Belajar matematika dapat membuat kita lebih teliti, cermat dan tidak ceroboh.
Masih ingatkah anda, ketika gurumu memberikan soal-soal untuk
dikerjakan? Menyelesaikan soal-soal tersebut haruslah dengan hati-hati,
harus dengan teliti perhatikan benar apa pertanyaannya, berapa angkanya
atau lainnya. Lakukan dengan cermat jangan putus asa dan jangan ceroboh.
Agar jawaban yang anda jawab benar. Jadi dalam penyelesaian dalam
mengerjakan soal dapat melatih anda menjadi orang yang teliti, cermat
dan tidak ceroboh. 5. Belajar matematika dapat melatih cara berpikir.
Belajar matematika sangatlah menuntut anda untuk berpikir. Setiap orang
memiliki kemampuan yang berbeda-beda dalam berpikir. Ada kemampuan
berpikirnya cepat ada juga yang lambat. Dengan mengerjakan penyelesaian
soal dapat melatih cara berpikir anda untuk lebih keras lagi. Ketika
jawaban anda salah, harus diperbaiki sampai jawabannya benar. Sehingga
tujuan anda untuk menyelesaikan soal tersebut mendapat hasil yang
memuaskan.
6. Belajar matematika dapat melatih kesabaran.
Benarkah, belajar matematika dapat melatih kesabaran?. Humm, tentu saja
iya. Penyelesaian permasalahan dalam matematika itu rumit dan panjang
sehingga dapat melatih anda untuk menjadi orang yang sabar dalam
mengerjakannya.
Nah, itulah tadi beberapa manfaat belajar matematika. Belajar
matematika itu sangatlah penting, apalagi dalam kehidupan sehari-hari.
Jika tidak bisa berhitung maka ketika berbelanja, anda akan mengalami
kesulitan. Waduhh, rugi bangetkan. Jadi, belajarlah matematika dengan
sungguh-sungguh.
Jika di Amerika ada Khan Academy yang menjadi pusat
pembelajaran online, maka di Indonesia ada 7 website yang bisa
dipergunakan untuk belajar online secara gratis ataupun berbayar:
1. Brainly
Brainly.co.id didirikan oleh pengusaha Eropa Michal
Borkowski, Tomasz Kraus, dan Lukasz Haluch, yang bertujuan membantu
pelajar Indonesia khususnya dan pelajar dunia dalam mengerjakan
pekerjaan rumah, atau bertanya tentang pelajaran yang tidak dimengerti
yang kemudian pertanyaan tersebut dijawab oleh orang lain yang bisa
menjawabnya tidak terbatas hanya pada guru namun juga bisa pelajar
lainnya yang memang sudah paham.
Berkat kegigihannya dalam membangun start-up pendidikan, awal bulan
ini, Brainly yang berpusat di Berlin memperoleh invetasi sebesar $9 juta
seri A dari General Catalyst Partners.
Dimas Mukhlas Widiantoro, sebagai country manager untuk Brainly
Indonesia, menyatakan bahwa Brainly akan menjadi kelas raksasa untuk
semua siswa yang mau belajar, berbagi, dan mendapatkan pengetahuan.
Brainly adalah jaringan sosial bagi siswa, di mana siapa pun, di mana
saja di dunia, dapat mendaftarkan diri untuk membantu orang lain dengan
pekerjaan rumah. 2. Zenius
Zenius.net, saat ini mungkin menjadi satu dari
sedikit website online yang menyediakan pembelajaran secara interaktif
paling baik. Terdapat video pembelajaran interaktif seolah belajar
dikelas bimbingan belajar.
Wisnu sebagai CEO Zenius, memiliki keinginan besar untuk memperbaiki
Indonesia dalam pendidikan. Ia juga menyatakan bahwa salah satu masalah
terbesar Indonesia adalah Pendidikan. Oleh karenanya Zenius dibuat untuk
membantu siswa dalam pembelajaran yang lebih efektif serta efisien.
Tidak seperti Khan Academy, sayangnya, video pembelajaran zenius
masih berbayar, alias tidak gratis, karena mungkin belum ada investor
yang mau mengcover zenius sebagai media pembelajaran nasional yang harus
dikembangkan demi mencerdaskan anak bangsa. Semoga saja kedepannya ada
investor serta gratis selamanya.
3. Ruang Guru
Ruangguru.com merupakan website bagi guru dan murid
bertemu dalam sebuah wadah interaktif untuk melakukan kegiatan
pembelajaran. Murid baik siswa sekolah menengah, hingga perguruan tinggi
bisa belajar lewat website tersebut. Tak hanya itu pengajar bukan hanya
kalangan dari guru formal saja namun juga siapapun yang menguasasi
pelajaran tertentu bisa menjadi guru.
Bahkan pembelajarannya bisa dilakukan secara online hingga bertemu
disuatu tempat yang mendukung pembelajaran atau d irumah murid sesuai
dengan kesepakatan. Memang tidak gratis, tapi mungkin ruangguru menjadi
salah satu bimbel online paling populer di indonesia saat ini. 4. Ini Budi
Saat sekolah dasar, pasti kalimat “Ini Budi, Ini Ayah Budi, Ini Ibu
Budi” sudah tak asing lagi. Sehingga foundernya membuat website inibudi.org
sebagai bisnis sosial yang mengedepankan pendidikan. Berbagi ilmu lewat
video pembelajaran menarik dan interaktif yang selalu diperbaharui
secara berkala. Dan itu semua bisa diperoleh secara gratis.
Ini Budi mengkhususkan pembelajaran lewat videonya mulai dari sekolah
dasar SD hingga tingkat SMA. Tak hanya itu, terdapat pula materi umum
seperti Profesi yang diisi oleh presenter kondang Najwa Shihab.
5. Sibejoo
Sama halnya dengan inibudi, video pembelajaran dari Sibejoo.com
dapat kita manfaatkan secara gratis. Sibejoo yang berarti beruntung ini
sudang mengupload video pembalajaran sebanyak 1.000 lebih yang dibuat
sendiri dan lebih fokus pada pelajaran IPA seperti matematika, biologi,
kimia, fisika.
Setiap orang dapat mengaksesnya lewat website sibejoo dan bisa
menyumbangkan dana bagi mereka yang sudah berniat baik untuk memberikan
pembelajaran gratis yang interaktif dan tentunya juga bermanfaat. 6. HarukaEdu
Haruka Edumemiliki konsep berbeda dengan yang
lainnya. Mirip seperti bimbingan belajar atau lembaga kursus namun
dikhususkan kepada lulusan sekolah menengah atas atau kelas perguruan
tinggi yang bukan hanya menyediakan kegiatan pembelajaran mulai dari
silabus hingga materi teorio serta praktek namun juga sertifikat
berakreditasi.
Harukaedu membagi dua kategori fasilitas, yang pertama adalah kelas
online gratis bagi siapa saja, kedua ada kuliah online yang bekerja sama
dengan universitas berakreditasi B dan A.
7. Quipper Video
Sukses dengan Quipper School, kini Quipper Ltd., perusahaan teknologi
yang berbasis di London, Inggris, meluncurkan produk terbarunya yaitu
Quipper Video di Indonesia untuk pertama kalinya di dunia. Indonesia
dipilih karena dianggap sebagai negara berkembang yang sudah memiliki
akses internet cukup stabil dan murah.
Quipper Video diklaim merupakan solusi e-learning berbasis video
online, alternatif dari bimbingan belajar, bagi para siswa yang sedang
mempersiapkan diri menghadapi UN (Ujian Nasional)dan SBMPTN (Seleksi
Bersama Masuk Perguruan Tinggi Nasional) sehingga belajar lebih efektif
dan menyenangkan. Quipper Video menyediakan video pembelajaran dan modul
dari para tutor berpengalaman, soal-soal latihan hingga try out SBMPTN
layaknya sebuah bimbingan belajar. Bedanya, semua layanan tersebut
disajikan secara online sehingga dapat diakses dimana saja, kapan saja,
dan bisa diulang-ulang.
Masih males belajar matematika? Jangan lagi! Kali ini kita akan mengupas tips belajar matematika yang akan membuat kalian
menyukai atau bahkan jatuh cinta pada matematika. Sebenarnya tips ini bisa
dipraktekkan pada semua mata pelajaran lain. Bagaimana sih caranya? Yuk kita lihat!
1. Biasakan jangan hanya menghafal.
Menghafal itu penting dalam proses pembelajaran, namun kebiasaan yang hanya menghafal akan membuat kalian seperti burung beo yang bisa bicara tapi tidak mengerti apa yang dikatakannya. Salah satu kelebihan manusia dibandingkan makhluk-Nya yang lain adalah dibekalinya kita akal. Akal kita jauh lebih pinter daripada komputer (kalian pasti sepakat karena komputer yang bikin juga manusia kan?..hehehe), namun dalam hal menghafal kita kalah dengan komputer, karena komputer diciptakan hanya untuk fungsi itu sedangkan pikiran kita tidak hanya kita gunakan untuk menghafal saja, masih banyak yang lain (mikir OSIS, ekstrakurikuler, belajar kelompok...atau pacarnya bagi yang sudah punya pacar hehehehe....)
2. Mengerti dan fahami
Nah, ini penting, pahami dan mengerti semua konsep yang diajarkan oleh guru kalian. Semua rumus atau formula itu tidak terjadi dengan sendirinya, tapi ada rangkaian proses yang menyertainya. Untuk itu pahami latar belakang yang menyebabkan lahirnya konsep atau rumus tersebut. Kebiasaan ini akan membantu kalian dalam menghafalkan rumus-rumus sehingga tidak mudah lupa dan akan teringat sampai suatu saat kalian ditanya oleh anak-anak kalian kelak...hehehehe.
3. Pelajari kembali materi yang disampaikan oleh guru dikelas sesampainya dirumah
Sesampainya pulang sekolah ganti baju, makan dan lakukan aktivitas harian di rumah kalian. Namun jangan lupa sisakan/sempatkan sedikit waktu untuk membaca/mempelajari kembali materi yang disampaikan oleh guru disekolah.
4. Belajarlah sedikit tapi konsisten
Lebih baiknya banyak dan konsisten kan?. Tuhan lebih menyukai perbuatan baik yang dilakukan secara konsisten/teratur dan terus menerus meskipun sedikit daripada banyak tapi hanya sekali atau tidak konsisten. Mungkin kalian pernah dengar istilah SKS (Sistem Kebut Semalam)? Hindari cara belajar yang begini. Belajarlah secara rutin dan terus menerus, jangan saat ada ulangan atau ujian saja.
5. Berlatih dan berlatih menyelesaikan soal matematika
Jangan malas berlatih mengerjakan soal matematika. Berlatihlah terus menerus dan berulang. Semakin banyak kalian berlatih membuat kalian banyak menemukan model soal dan pemecahannya. Seprti kata guru kita, BISA KARENA BIASA! Hehehehe...
6. Carilah referensi yang lebih banyak
Janganlah hanya menjadikan bahan/materi guru dikelas sebagai satu-satunya referensi yang kalian miliki. Mintalah pada orang tua (mungkin dari simpanan uang jajan kalian...hehehe..berhemat) untuk membelikan buku pelajaran matematika yang relevan. Mungkin bagi kalian yang gemar berinternet ria, kalian bisa dapatkan artikel/tulisan tentang pelajaran matematika didunia maya. cari saja di mesin pencari seperti google materi apa/buku apa yang Anda kehendaki.
Referensi tersebut akan membantu kalian menambah wawasan dan pemahaman materi pelajaran.
7. Jangan malu untuk bertanya kepada yang lebih tahu
Malu bertanya sesat dijalan lo...jadi kalian jangan malu bertanya kepada orang yang lebih tahu tentang matematika, mungkin kakak kalian, bapak, ibu atau teman sekelas yang menurut kalian lebih mampu. Tidak ada salahnya juga kalian bertanya pada guru ketika pada saat belajar ada hal-hal yang menurut kalian tidak jelas.
Nah, selamat mencoba untuk mempraktekkan tips ini, agar kalian tidak lagi takut pada pelajaran matematika tapi sebaliknya mulai belajar menyukai matematika. SEMANGAT!!! :D
1. Bayangan pada titik A (1,2) dan (1,-3) oleh translasi T (3, 4) berturut-turut adalah... Bayangan titik A(1,2):
A' = [(1 + 3) , (2 +4)] = (4 ; 6).
Bayangan titik B(1,-3):
B' = [(1 + 3) , (-3 + 4)] = (4 ; 1) Jawaban: A'(4, 6) dan B'(4, 4) 2. Translasi T(x, y) memetakan titik A(2, 3) ke titik A'(-1, -2). Nilai x dan y berturut-turut adalah... A(2 , 3) maka A'(2 + x, 3 + y) = A'(-1 , -2)
2 + x = - 1 maka x = -1 - 1 = -3
3 + y = - 2 maka y = - 2 - 3 = - 5 Jawaban: -3 dan -5 3. Diketahui segitiga ABC dengan A(-4 , 0), B(1 , 1), C(-3 , 2). P adalah titik berat segitiga ABC. Jika translasi T(x, y) memetakan segitiga ABC menjadi segitiga A'B'C' dan P'(2 , 3), maka translasi dan koordinat A', B' dan C' adalah... P = [(xA + xB + xC) / 3 , (yA + yB + yC) / 3]
P = [(-4 + 1 + (- 3) / 3 , (0 + 1 + 2) / 3]
P = [-6/3 , 3/3] = (-2 , 1)
Menentukan nilai x dan y
P(-2 , 1) = (-2 + x , 1 + y) = P'(2 , 3)
-2 + x = 2 maka x = 4
1 + y = 3 maka y = 2
Jadi translasi:
Menentukan bayangan A(-4 , 0) = A'(-4 + 4, 0 + 2) = A'(0 , 2)
Menentukan bayangan B(1 , 1) = B'(1 + 4 , 1 + 2) = B'(5 , 3)
Menentukan bayangan C(-3 , 2) = C'(-3 + 4 , 2 + 2) = C'(1 , 4) Jawaban: A'(0 , 2), B'(5 , 3), C'(1 , 4) 4. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis y = x b) Terhadap garis y = − x
a) Terhadap garis y = x y = x (a, b) ----------> ( b, a)
y = x (3, 5) ----------> (5, 3)
b) Terhadap garis y = − x y = − x (a, b) ----------> ( − b, − a)
y = − x (3, 5) ----------> (− 5, − 3)
5. Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45°
menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'. Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α
Sehingga:
Catatan: sudut α positif → berlawanan arah jarum jam sudut α negatif → searah jarum jam
6. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks
kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....
Transformasi oleh matriks
dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya
Gabungan dua transformasi:
Terlihat bahwa y' = − y y = − y'
x' = x + 2y x' = x + 2(− y') x' = x − 2y' x = x' + 2y'
Jadi: x = x' + 2y' y = − y'
Masukkan ke persamaan awal y = x + 1 (− y') = (x' + 2y' ) + 1 x' + 3y' + 1 = 0
Jawaban: x + 3y + 1 = 0 7. Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah.... Titik A, dengan transformasi matriks
akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:
Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan
titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda
tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan
memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.
Jawaban: (11, −6)
8. Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks dilanjutkan oleh matriks , maka bayangan lingkaran itu adalah.... (x − 2)2 + (y + 3)2
= 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan
berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.
Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi
cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di
persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.
Titik P (2, − 3) oleh transformasi
akan menjadi P':
Titik P' ini oleh transformasi kedua
akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah,
karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk
mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:
Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi:
Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke
himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang
dapat dilakukan antara lain :
Translasi (Pergeseran)
Refleksi(Pencerminan)
Rotasi(Perputaran)
Dilatasi(Penskalaan)
1. TRANSLASI / PERGESERAN
Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:
(-10, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan A2 (-7, 9), B2 (-7, 3), C2
(-4, 3)
(0, -13) menjadi segitiga A3B3C3 dengan A3(3, -4), B3 (3, -10), C3 (6, -10)
(-10, -13) menjadi segitiga A4B4C4dengan A4(-7, -4), B4 (-7, -10), C4 (-4, -10)
Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :
dimana :
a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan +, kekiri -)
b menyatakan pergeseran vertikal (keatas +, kebawah -)
terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)
Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b
Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y
Pencerminan terhadap titik (0, 0)
Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x
Pencerminan terhadap garis y = mx + c
Jika m = tan θ maka:
3. ROTASI/ PERPUTARAN
Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:
+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b) Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):
dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)
Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):