Soal dan Pembahasan

1. Bayangan pada titik A (1,2) dan (1,-3) oleh translasi T (3, 4) berturut-turut adalah...

Bayangan titik A(1,2):
A' = [(1 + 3) , (2 +4)] = (4 ; 6).

Bayangan titik B(1,-3):
B' = [(1 + 3) , (-3 + 4)] = (4 ; 1) 

Jawaban: A'(4, 6) dan B'(4, 4)


2. Translasi T(x, y) memetakan titik A(2, 3) ke titik A'(-1, -2). Nilai x dan y berturut-turut adalah...

A(2 , 3) maka A'(2 + x, 3 + y) = A'(-1 , -2)
2 + x = - 1 maka x = -1 - 1 = -3
3 + y = - 2 maka y = - 2 - 3 = - 5

Jawaban: -3 dan -5


3. Diketahui segitiga ABC dengan A(-4 , 0), B(1 , 1), C(-3 , 2). P adalah titik berat segitiga ABC.
Jika translasi T(x, y) memetakan segitiga ABC menjadi segitiga A'B'C' dan P'(2 , 3),
maka translasi dan koordinat A', B' dan C' adalah...

P = [(xA + xB + xC) / 3 , (yA + yB + yC) / 3]
P = [(-4 + 1 + (- 3) / 3 , (0 + 1 + 2) / 3]
P = [-6/3 , 3/3] = (-2 , 1)

Menentukan nilai x dan y
P(-2 , 1) = (-2 + x , 1 + y) = P'(2 , 3)
-2 + x = 2 maka x = 4
1 + y = 3 maka y = 2
Jadi translasi:

Menentukan bayangan A(-4 , 0) = A'(-4 + 4, 0 + 2) = A'(0 , 2)
Menentukan bayangan B(1 , 1) = B'(1 + 4 , 1 + 2) = B'(5 , 3)
Menentukan bayangan C(-3 , 2) = C'(-3 + 4 , 2 + 2) = C'(1 , 4)

Jawaban: A'(0 , 2), B'(5 , 3), C'(1 , 4)


4. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x

a) Terhadap garis y = x
           y = x
(a, b) ----------> ( b, a)

           y = x
(3, 5) ----------> (5, 3)

b) Terhadap garis y = − x
           y = − x
(a, b) ----------> ( − b, − a)

            y = − x
(3, 5) ----------> (− 5, − 3)


5. Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α



Sehingga:


Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jam

6. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....

Transformasi oleh matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:


Terlihat bahwa
y' = − y
y = − y'

x' = x + 2y
x' = x + 2(− y')
x' = x − 2y'
x = x' + 2y'

Jadi:
x = x' + 2y'
y = − y'

Masukkan ke persamaan awal
y = x + 1
(− y') = (x' + 2y' ) + 1
x' + 3y' + 1 = 0

Jawaban: x + 3y + 1 = 0

7. Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks
dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....
Titik A, dengan transformasi matriks

akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:



Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.



Jawaban: (11, −6)

8. Lingkaran (x − 2)² + (y + 3)² = 25 ditransformasikan oleh matriks dilanjutkan oleh matriks , maka bayangan lingkaran itu adalah....
(x − 2)² + (y + 3)² = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, − 3) oleh transformasi



akan menjadi P':



Titik P' ini oleh transformasi kedua



akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:



Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi: